狭义相对论并不是给电动力学打上的“补丁”。恰恰相反，麦克斯韦方程的结构本身就在提示我们：时间与空间必须按照洛伦兹变换联系起来。电场和磁场也不是两个完全独立的场，而是同一个电磁场在不同惯性系中的不同表现。
本文采用 SI 单位制，并约定惯性系 S′ 以速度 v 相对惯性系 S 运动。
经典力学中的伽利略变换认为时间对所有观察者都一样。但麦克斯韦方程预言真空电磁波的传播速度为
c=μ0ε01.
公式解释： μ0 是真空磁导率，ε0 是真空介电常数。它们都是描述真空电磁性质的常数，因此算出的 c 不是“光源相对于观察者的速度”，而是由电磁定律本身确定的速度。这正是真空光速在所有惯性系中保持不变的物理线索。
狭义相对论采用两个基本原理：所有惯性系中的物理定律形式相同；真空光速 c 对所有惯性观察者相同。
若 S′ 沿 x 方向以速度 v 相对 S 运动，并且两坐标系的原点在 t=t′=0 时重合，则
x′=γ(x−vt),t′=γ(t−c2vx),
y′=y,z′=z.
公式解释： 第一组公式中的 x−vt 是经典力学也会出现的相对位移；额外的因子 γ 以及时间变换中的 vx/c2 表明，空间坐标和时间坐标会相互混合。也就是说，两个观察者不但对物体“在哪里”意见不同，对两个事件是否同时发生也可能意见不同。
公式解释： 第二组公式说明，标准洛伦兹变换只改变沿相对运动方向的坐标；垂直于运动方向的 y,z 坐标保持不变。
其中洛伦兹因子为
γ=1−v2/c21.
公式解释： 当 v≪c 时，γ≈1，洛伦兹变换就近似回到熟悉的伽利略变换；当 v 接近 c 时，γ 会迅速增大，时间膨胀、长度收缩等相对论效应就会变得显著。任何有质量物体都不能通过有限能量达到光速，因为此时 γ 将趋于无穷大。
洛伦兹变换保持时空间隔不变：
Δs2=c2Δt2−Δr2=c2Δt′2−Δr′2.
公式解释： 不同观察者测得的时间间隔 Δt 和空间距离 Δr 可以不同，但它们组成的 Δs2 完全相同。它类似于三维空间中旋转坐标轴时保持不变的距离，只不过这里统一的是时间和空间。对于光，Δs2=0，因此所有惯性系都得到相同的光速 c。
相对于观察者静止的钟所记录的时间间隔称为固有时 Δτ。运动钟与观察者的时间关系为
Δt=γΔτ.
公式解释： 因为 γ≥1，所以观察者认为运动钟经历的固有时间更少，也就是“运动的钟变慢”。这不是钟的机械故障，而是时空结构的结果。
一根在自身静止系中长度为 L0 的尺，如果沿自身长度方向以速度 v 运动，则观察者测得
L=γL0.
公式解释： L0 称为固有长度。运动方向上的长度会缩短，垂直于运动方向的尺寸不发生这种收缩。测量 L 时必须在观察者的参考系中同时记录尺子的两端，因此长度收缩与“同时性的相对性”密切相关。
同一直线上的速度不再简单相加。若物体在 S′ 中沿 x 方向速度为 ux′，则在 S 中
ux=1+ux′v/c2ux′+v.
公式解释： 当所有速度都远小于 c 时，分母近似为 1，得到经典结果 ux≈ux′+v。如果 ux′=c，代入后仍有 ux=c；这保证了任何惯性系都不会把光速与普通速度直接相加成超过 c 的结果。
把时间和空间写成四维坐标
xμ=(ct,r).
公式解释： 指标 μ 依次代表一个时间分量和三个空间分量。时间乘以 c 后也具有长度单位，于是四个分量可以放在同一个对象中，并在洛伦兹变换下整体变换。
粒子的四维速度和四维动量分别为
Uμ=γ(c,u),pμ=mUμ=(cE,p).
公式解释： u 是粒子的普通三维速度，m 是静质量，E 和 p 分别是总能量与相对论动量。能量实际上是四维动量的时间分量，因此能量与动量会像时间与空间一样，在不同惯性系之间相互混合。
能量和动量满足
E2=p2c2+m2c4.
公式解释： 这是四维动量的“不变长度”。静止粒子有 p=0，于是得到 E=mc2；光子的静质量为零，因此得到 E=pc。同一条公式同时包含了静止能、运动能以及无质量粒子的能量关系。
连续分布的电荷密度和电流密度组成四维电流
Jμ=(cρ,J).
公式解释： ρ 表示单位体积中的电荷量，J 表示电荷的定向流动。不同观察者对长度和同时性的判断不同，因此他们测得的 ρ 与 J 也会不同；二者其实是同一个四维对象的不同分量。
电荷守恒可以紧凑地写为
∂μJμ=0,
公式解释： 这是电荷守恒的四维写法。符号 ∂μ 表示分别对时间和三个空间坐标求变化率，再与四维电流的对应分量组合起来。
它等价于熟悉的三维形式
∂t∂ρ+∇⋅J=0.
公式解释： 三维式中的 ∂ρ/∂t 表示局部电荷密度随时间的变化，∇⋅J 表示电流向外流出的程度。某一区域内电荷密度减少，必然对应电流流出；电荷密度增加，则必然有电流流入。
把电场、磁场分解为平行和垂直于相对速度 v 的部分。两个惯性系测得的平行分量满足
E∥′=E∥,B∥′=B∥.
公式解释： 沿参考系相对运动方向的电场和磁场分量不变。这里的“平行”是相对于 v 而言，不一定与场本身的方向一致。
垂直分量则满足
E⊥′=γ(E⊥+v×B),
公式解释： 运动观察者测得的横向电场不仅来自原来的 E⊥，还包含 v×B。因此，一个参考系中的磁场会在另一个运动参考系中贡献出电场。
B⊥′=γ(B⊥−c21v×E).
公式解释： 横向磁场也会获得来自电场的贡献，大小由 v×E/c2 决定。如果 S 中只有电场，运动观察者仍可能测到磁场。γ 反映高速运动带来的相对论增强；变换方向若反过来，需要把 v 换成 −v。
一个直观例子是载流导线：在实验室系中，导线整体近似电中性，运动电荷形成电流并产生磁场；换到与其中一种电荷一起运动的参考系后，由于不同电荷的长度收缩不同，观察者会测到净电荷密度和电场。两个参考系用不同的“电场—磁场组合”描述同一个物理作用。
电磁场有两个常用的洛伦兹不变量：
I1=E2−c2B2,
公式解释： I1 比较电场与磁场的相对强弱。乘上 c2 后，c2B2 与 E2 具有相同单位，因此两者可以直接比较。
I2=E⋅B.
公式解释： I2 衡量电场与磁场在方向上的重合程度；二者垂直时点积为零。虽然 E 和 B 会随观察者变化，但 I1 与 I2 的数值不变。若 I2=0 且 I1>0，通常可以找到一个只剩电场的参考系；若 I2=0 且 I1<0，通常可以找到一个只剩磁场的参考系。若 I2=0，则没有任何惯性系能把其中一个场完全消去。
标势 ϕ 和矢势 A 可以组成四维势
Aμ=(cϕ,A).
公式解释： ϕ 主要与电场相关，A 主要与磁场相关。把它们组成四维量，意味着标势和矢势在不同惯性系中也会相互混合，这与电场、磁场的混合是一致的。
电磁场张量定义为
Fμν=∂μAν−∂νAμ.
公式解释： Fμν 是一个反对称的四维矩阵对象。它的时间—空间分量包含电场，空间—空间分量包含磁场。因此，所谓“电场变成一部分磁场”，在四维观点中只是同一个张量换了一套惯性坐标后的分量变化。
包含电荷与电流源的两条麦克斯韦方程可合写为
∂μFμν=μ0Jν.
公式解释： 当 ν 取时间分量时，这个式子对应高斯定律 ∇⋅E=ρ/ε0；当 ν 取空间分量时，它对应含位移电流的安培—麦克斯韦定律。一个四维方程同时包含了电荷产生电场、电流和变化电场产生磁场。
另外两条无源方程可写为
∂αFβγ+∂βFγα+∂γFαβ=0.
公式解释： 这个循环求和关系同时包含磁场的高斯定律 ∇⋅B=0 和法拉第电磁感应定律 ∇×E=−∂B/∂t。它表达了磁单极子未被发现，以及变化磁场会产生旋涡电场。
这两组方程由四维张量写成，所以洛伦兹变换之后仍保持完全相同的形式。这就是“麦克斯韦方程具有洛伦兹协变性”的具体含义。
带电粒子在电磁场中受到的三维力为
F=q(E+u×B).
公式解释： 电场力 qE 即使粒子静止也存在；磁场力 qu×B 只有电荷运动时才出现，并且始终垂直于速度，所以磁场本身只改变粒子的运动方向，不直接改变粒子的能量。
力对粒子做功的速率为
dtdE=qE⋅u.
公式解释： 右边没有磁场项，因为 u⋅(u×B)=0。这再次说明磁场力不做功；粒子能量的变化来自电场沿运动方向的分量。
洛伦兹力的四维形式为
dτdpμ=qFμνUν.
公式解释： 左边表示四维动量随粒子固有时的变化；右边由电磁场张量作用在四维速度上得到。它的时间分量给出能量变化率，三个空间分量给出相对论运动方程。原本分开的“功率公式”和“受力公式”在这里成为同一个四维定律。
- 洛伦兹变换统一了不同惯性观察者的时空测量。
- 电荷密度与电流密度是四维电流的不同分量。
- 电场与磁场是电磁场张量的不同分量，会随参考系改变而混合。
- 麦克斯韦方程和洛伦兹力都可以写成简洁的四维协变形式。
- 磁现象与相对论密切相关，但完整的电磁场不能简单理解为“只有电场、磁场是假的”。